２ヶ月しか正社員でいないので失業保険も出ません。無い場合は、口頭でもかまいませんのでハローワークの相談窓口で経緯を話すとよろしいかと思います。

自己都合で退職し、失業保険の手続きをしています。初回認定は９月末終わり、次の認定日は１２月末で、それまでに３回の求職活動をしなければいけないのですが、
これは月に一度のﾍﾟｰｽで必ず行かなければならないのですか？１２月の認定日までに１２月中にまとめて行ってもいいのでしょうか？

９月に初回の認定日で次が１２月ですか？
それって３ヶ月の給付制限期間ですよね。給付制限期間経過後の認定日までに３回以上の活動実績が必要ですが、１２月にまとめてやっても構いませんよ。だけど３ヶ月の期間があるのだから前からやった方が楽だと思いますが。
補足
ＨＷのＰＣ検索は場所によっては就職活動とは認めないところもありますから確認が必要です。

９月から正社員として働いている会社に自律神経失調症とパニック障害を患ったため、休職願いを提出しましたが今月末で退職という話しになり退職届けを出すようにと言われま
した。
治癒後に復職を希望していたのですが、今後は今以上に忙しくなるから「うつ」が再発する恐れもあるため退職し治した方が良いと説明されました。
病院からの診断書には「うつ病」とは一言も記載されていません。
今までもパートの方や正社員の方で同じように精神的な理由で辞めた人が数人いる会社だったみたいです。
このような場合は言われるままに退職届けを書き提出するしかないのでしょうか。
解雇になると、その日までの日割り計算した金額しか渡せず、退職届けを今月末日付けで出せば勤務実態がなくても１ヶ月分の給与を支払うと言われました。
何となく腑に落ちない気持ちがあるので質問させていただきました。
お詳しい方、お教えいただけますと幸いです。

２ヶ月しか正社員でいないので失業保険も出ません。

よろしくお願いいたします。

法的に休職制度は無いので、休職は各会社の福利厚生の一環となります。

そして休職についてのルールは就業規則に記載があるはずですのでご確認を。

雇用契約を結んで労働を提供する契約を結んだのに自己都合で労働を提供できないのであれば会社は他の人を雇うなりなんなりしなければなりません。

ただ、この理由で会社が解雇してもいいのかどうかの判断は争いがある（医師の診断がどうなのか、軽易な作業への配置転換はできないのか、など）とは思います。

退職届を出さず解雇として退職をした後に会社を解雇権濫用として訴える気力と労力を考えると、合意退職として１カ月分の給与をもらって退職するのも悪くないと思います。

雇用保険への加入期間が２カ月しかないのであれば解雇＝会社都合でやめることにメリットは無いので。

９月前は無職だったのですか？空白期間が１年未満で、前職で雇用保険に加入していたなら期間を通算して６カ月以上になれば傷病による特定理由離職者として失業給付の申請ができます。

また健康保険にも加入していたなら前職と通算して１年以上になれば退職後も傷病手当金を申請することができます。

お金の問題ではなく、復職するのが希望であれば、もう一度主治医に相談をして休職せずに通院する方向で治療が出来ないかなど、会社が抱えるリスク（うつが再発するかもしれない等）を少しでも緩和できるようにして会社にもかけあってみるか話し合いをしてみるしかないと思います。

雇用保険とは、失業保険をもらう為に払っているものと考えています。もし定年退職するまで（約40年と仮定して）ずっと払い続けた場合は、それまで払ってきた雇用保険料は、どこかで還元されるのですか？？？

失業保険は定年に関係なくもらえます。
定年退職しても、まだ、働く希望があり、求職していればもらえます。
それは気持ちの面だけでなく、実際にハローワークにいって係りの人に相談して、求職活動を本当にしないとだめです。
求職活動の実績（たしか６０日とかだっけ？）がないと失業保険はもらえない。

失業保険の待機期間中に就職が決まったが、すぐに退職もしくは内定を辞退した場合の失業保険について。
失業保険の待機期間中(受給は受けていない状態)にある会社から内定を受けたものの、入社後すぐに退職したり、内
定後にやっぱり内定を辞退するということにした場合、以前の失業保険を受け取る権利は失ってしまうのでしょうか？
また、働き始めた仕事が一ヶ月等期間限定の仕事の場合はどのように考えられるのでしょうか？
詳しい方、教えていただけますでしょうか？

詳細はハローワークの職員に聞いた方が確実ですが、
内定辞退したことで失業保険の受給権利を失うことはないですよ。当該会社との雇用契約が成立しなければ大丈夫と思います。

当方の実績ですが、
失業保険給付期間中に得た収入は、それを書類で申請すればその分を給付額から引かれるだけで、アルバイトが禁止されていることはありません。むしろ労働意欲がある・・と理解してくれるはずです。

失業保険について質問です。うちの会社の給料は15日締めの1日払いなのですが、３月いっぱいで解雇になりました。離職表は来週中には手元に届き職安で手続きをします。

その際失業保険は５月から貰えるのでしょうか？
３月１６日～３１日までの給料は５月１日に振り込まれるのですが、もし失業保険が５月から出るのであれば５月は勤めた分の給与と失業保険丸々支給されるのでしょうか？

離職票の記述に、「会社都合」と記載されていることを確認してください。
自己都合になっている場合、本来は会社都合である証明が出来る何か（解雇通知）とかがあれば良いです。
無い場合は、口頭でもかまいませんのでハローワークの相談窓口で経緯を話すとよろしいかと思います。
ハローワークから会社への事実関係の問い合わせが行くはずです。

また、失業保険は会社が支払うものではありません。
受給条件も色々ありますので、まずは「会社都合」の離職票と必要なものを持参しハローワークに行くことをお勧めします。